Modelos de situaciones reales en la investigación de la enseñanza de las matemáticas para un desarrollo sostenible

04 Agosto 2022

Autora: Rosa Eulalia Cardoso Paredes

Resumen

El articulo presenta algunas posturas teóricas sobre el uso de modelación de situaciones reales en aula; así como, resultados de experiencias de su aplicación en la enseñanza en diferentes niveles educativos del Perú. En la propuesta se toma en cuenta diversos estudios que muestran la conveniencia de incorporar modelos y modelación mediante el enfoque ECBI y STEAM, para superar obstáculos y dificultades como para el desarrollo de habilidades matemáticas, desarrollo de capacidades cognitivas, metacognitivas y de formación transversal; así como, un buen desempeño en el uso de conceptos y procesos matemáticos para lograr la sostenibilidad que necesitamos.

Palabras clave: Modelos matemáticos, modelación de situaciones, ECBI y STEAM, Desarrollo sostenible.

Introducción

Hasta este tiempo los programas de enseñanza de las matemáticas, en particular aquellos ligados con la enseñanza básica, aún hacen énfasis en la importancia de la solución de problemas para el aprendizaje de las matemáticas y ha tardado o aún no llega a muchos de los ámbitos universitarios, pues es en éstos en donde se la enseñanza en forma más tradicional: las clases son magistrales, utilizando el método deductivo introduciendo primero las definiciones y luego los teoremas de manera lineal y luego unos ejercicios de aplicación dejando el trabajo de los alumnos únicamente para la solución de problemas como tarea en casa. Sin considerar que dicha enseñanza se dirige a estudiantes cuyo interés primordial ya es justamente la aplicación de las matemáticas y quizá no la matemática en por sí.

Las investigaciones en solución de problemas han mostrado dificultades que los alumnos tienen cuando intentar “traducir” al lenguaje matemático los enunciados de los problemas verbales (Puig y Cerdá 1978) y el caso de la modelación de situaciones reales es más complejo aún ya que los estudiantes deben interpretar la situación que se les da y determinar la o las variables que pueden considerarse importantes para describir de manera acertada el problema que se le presente. Requieren la formulación de hipótesis que les permitan simplificar la situación problemática y representarla a través de los objetos matemáticos adecuados como las funciones, por ejemplo. 

Las investigaciones nos indican que una buena forma de lograr la contextualización del conocimiento es mostrar situaciones problemáticas reales factibles de ser representadas por modelos matemáticos que pueden emerger cuando se tiene la necesidad de responder a preguntas específicas que surgen de las situaciones reales, cuando se requiere tomar algunas decisiones o cuando es necesario hacer predicciones relacionadas con fenómenos estudiados que pueden ser naturales-ambientales o sociales. Uno de los supuestos que Lehrer y Schauble, 2000; Lesh e English, 2005 hacen es que la introducción de la modelación matemática al aula consiste en esperar que, cuando los alumnos enfrentan situaciones problemáticas de interés son capaces de explorar formas de representarlas en términos matemáticos, de explorar las relaciones que aparecen en esas representaciones, manejarlas y desarrollar ideas fuertes que se pueden canalizar hacia las matemáticas que se desea enseñar.

Por lo anterior será importante en este espacio responder a alguna de las tantas preguntas que surgen en relación a la modelación por ser la columna vertebral para la consecución de un modelo matemático: ¿qué es modelación en el ámbito de la investigación en educación matemática?; ¿cómo iniciamos la modelación en la case de matemáticas de una manera cercana a los estudiantes?; ¿Es la modelación una buena forma de abordar la solución de problemas o de construir un espacio de aprendizaje de las matemáticas?; ¿Cuáles son los problemas que se plantean al introducir la modelación a la clase de matemáticas?; ¿la educación matemática puede, por ella misma, dar una respuesta global a todas estas exigencias o, por el contrario,  es  necesario considerar  los avances de investigación de otros campos de conocimiento? y especialmente esta que es de nuestro interés ¿Cómo los ODS pueden aportar a desarrollar la competencia matemática de modelación?, que respondería al reto de la UNESCO propuesto al profesorado a implementar una Educación para el Desarrollo Sostenible con la que los ciudadanos adopten estilos de vida sostenible en las dimensiones económica, social y medioambiental. 

Marcos teóricos que apoyan la investigación en la enseñanza de las matemáticas en los diferentes niveles educativos. 

Sabemos a en este siglo XXI, hay muchos marcos teóricos que fundamentan la investigación en la enseñanza de las matemáticas; sin embargo uno de esos marcos en los que se fundamenta la enseñanza de las matemáticas en los diferentes niveles educativos y ha tomado fuerza tanto a nivel internacional como nacional, es la Educación Matemática Realista (EMR) cuya postura considera a la matemática como una actividad humana y, como tal, se desarrolla a partir de modelos originados de situaciones en un contexto específico real, de fantasía o formal. Lo importante en esta perspectiva es que estos contextos pueden ser reales para los estudiantes. Como metodología de aplicación se presentan al estudiante situaciones en contexto con las cuales trabaja para que conforme requiera matematizar la situación y convertirla en un modelo, este trabajo le permita “reinventar” las matemáticas. Los modelos funcionan entonces como puentes que conducen hacia una mayor comprensión de las matemáticas con la finalidad de que su conocimiento progrese y evolucione.

En la perspectiva de Freudenthal (1968), creador de esta teoría, si se desea que las matemáticas tengan valor, para los alumnos, deben estar conectadas con la realidad, permanecer cercanas a ellos y ser relevantes para la sociedad. En esta postura hay dos tipos de matematización: una horizontal que implica el proceso de partir de la situación real hacia el mundo de los símbolos, y otra vertical que describe los cambios que sufre la expresión matemática del modelo dentro del propio mundo de los símbolos (Freudenthal, 1991). Así mismo la EMR se basa en 6 principios que son: Actividad, reinvención, 

La Enseñanza de las Ciencias Basada en la Indagación (ECBI) y el enfoque STEAM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería, Arte y Matemáticas) para desarrollar modelos matemáticos en la solución de situaciones y los Objetivos para el Desarrollo Sostenible (ODS).

La ECBI promovido por los académicos de las diferentes academias de ciencias en la InterAcademy Partnership (IAP) y The Inter-American Network of Academies of Sciences (IANAS), es un enfoque que está sustentado en las ideas de las metodologías activas que surgen desde la Filosofía de: Dewey y W. James; así como, de G. Bruner quien tuvo mucha influencia de las ideas de L. Vigotsky, quienes nos indican que la mejor forma de aprender de cada ser humano es construyendo su propio conocimiento. Por la conformación de sus miembros estas instituciones comenzaron a enfatizar en este un nuevo modelo de enseñanza donde cada una de ellas puede desarrollarse disciplinalmente, así como, actuar entre ellas y realizar diversos tipos de conexiones, donde la matemática participa como un lenguaje para que al finar se pueda realizar una comunicación más eficiente y universal. 

En ese sentido desde aproximadamente en Perú, desde el 2005, apoyados por la Academia de Ciencias del Perú como miembro de las instituciones mencionadas introdujo en nuestro sistema educativo dicho enfoque a trabes del proyecto denominado ECBI Perú y que después se introdujo la indagación como una competencia solo a través del área del área de Ciencias Naturales clásica que incluye a la Física, Biología y Química. Sin embargo, se ha seguido resistiendo el sistema a considerar este enfoque como una competencia más transversal como se planteó en ese momento y que hoy lo vemos reflejado en el denominado Enfoque STEM. En este enfoque ya se introdujo la matemática y la tecnología por considerar que los procesos que propicia la indagación como: focalización que incluye la (formulación de preguntas, predicción, formulación hipótesis), exploración o experimentación, reflexión, aplicación de los conocimientos en la sistematización de los resultados (Cardoso, 2013) como lo muestra el modelo Karen Word y Huberter Dyasi: 

Con STEAM el Centro Smithsonian de Educación Científica (SSEC, 2021) hace otro intento por proporcionar a la próxima generación encargada de tomar decisiones a que sean capaces de hacer las elecciones correctas sobre los complejos problemas socio-científicos que enfrenta la sociedad humana, promoviendo la enseñanza y el aprendizaje de manera auténtica, interactiva y basada en indagación; garantizando la diversidad, equidad, accesibilidad e inclusión en la educación en los niveles básicos; y promueve también la educación STEM para el desarrollo sostenible. Para lograr dicha educación combina prácticas previas en la Educación Científica Basada en Investigación (IBSE, del inglés Inquiry-Based Science Education), la Educación de Estudios Sociales (EES en inglés Social Studies Education-SSE), la Educación Cívica Global -ECG (Global Citizenship Education), el Aprendizaje Emocional Social (SEL, del inglés Social Emotional Learning) y la Educación para el Desarrollo Sostenible (ESD, del inglés Education for Sustainable Development) razón por la cual consideramos todo docente que considera realizar un trabajo acorde con la solución de problemas, debe llevarlo a las aulas como una forma de contribuir a esas soluciones a los 17 grandes objetivos ODS que conforma la Agenda 2030. Para ello, la ONU reconocen tres dimensiones de acción: económica, social y ambiental, que son plasmadas en estos 17 ODS y abarcan variedad de temáticas (Figura 1). Para alcanzar estos objetivos, es necesario contar con una educación holística, integradora y transformadora, que permita a las generaciones actuales y futuras que puedan alcanzar aprendizajes cognitivos, socioemocionales y conductuales específicos, y sobre todo desarrollar competencias clave de sostenibilidad (UNESCO, 2017).

 Fuente: UNESCO. (2017). 

Otra de las exigencias que proponen por la naturaleza de las conexiones en las soluciones es que se desarrolle competencias y habilidades necesarias que se necesitará para el siglo 21 como:

Modelos y Modelación matemática 

Entre las posturas existentes en el ámbito de la modelación, la conocida como Modelos y Modelación es la que enfatiza la construcción, por parte de los alumnos, de sistemas conceptuales o modelos cuando trabajan con una situación en contexto que favorece el proceso de matematización. Se preocupa por la preparación de los estudiantes en la solución del tipo de problemas a los que normalmente se enfrentan fuera de la escuela y en el logro de formas de trabajo con ese tipo de problemas que puedan relacionarse con los temas que se estudian en las matemáticas escolares, aunque esa relación no sea clara y evidente. En esta línea de investigación el interés se centra en que los estudiantes desarrollen formas flexibles y creativas de pensar que les permitan abordar las situaciones que se les presentan (Lesh y Doerr, 2003; Lesh e English, 2005; Lesh y Sriraman, 2005).

Al trabajar con estos problemas a los que se les conoce como actividades que producen modelos, los estudiantes no producen únicamente respuestas a las preguntas o situaciones planteadas por el problema, sino que desarrollan herramientas conceptuales que pueden ser manipuladas, modificadas, comunicadas y reutilizadas en otras situaciones (Trigueros, 2009). Las investigaciones en este tema muestran el diseño de problemas que conducen a secuencias de instrucción en las cuales los estudiantes trabajan en grupo con situaciones reales que permiten la “elicitación” de constructos matemáticos, que pueden después ser elaborados y extendidos hasta llegar a un sistema generalizable, o modelo, susceptible de ser empleado en diversas situaciones y las explicaciones, justificaciones y elaboraciones que hacen los estudiantes se consideran parte integral del proceso de modelación (Trigueros 2009). 

Según sus seguidores de esta teoría, su aprendizaje debe llevarse a cabo en un ambiente que favorezca y promueva procesos de cuestionamiento y de reflexión, que a su vez conduzcan a la comprensión de los fenómenos a través del uso de recursos matemáticos. Por ello, se ha desarrollado criterios que los problemas a presentar a los estudiantes deben satisfacer lograr lo que se considera más importante: que los alumnos desarrollen ideas matemáticas poderosas que les permitan analizar la situación a la que se enfrentan y que puedan, posteriormente, ser aplicadas como herramienta conceptual para resolver otros problemas que en apariencia no están relacionados con el que han trabajado, pero que pueden tratarse con las mismas ideas matemáticas.

En la actividad de modelación, la búsqueda de relaciones entre variables, que los estudiantes deben desarrollar, se constituye en una actividad fundamental y se expresan a través de modelos matemáticos. Así, los sistemas conceptuales, los sistemas cognitivos y los modelos se usan como ingredientes esenciales para explicar los procesos de comprensión de los conceptos matemáticos por los estudiantes. Sin embargo, esta postura teórica ofrece poca información acerca de la forma en que los estudiantes desarrollan nuevo conocimiento o construyen modelos más robustos. De la ejemplificación que se ha hecho hasta aquí de algunas de las perspectivas de modelación se desprende que, independientemente del acercamiento prioritario que se tome, todas comparten algunas características. 

Las características son: el contexto en el que se plantea y se resuelve el problema debe tener sentido para los estudiantes, aunque viniendo de las matemáticas mismas; no hay una solución específica esperada, sino que es importante que los alumnos desarrollen diversas formas de razonamiento que permitan surgir conceptos para abordar la tarea. Aunque los conceptos que se quieren desarrollar sean el foco primordial de la actividad para el profesor, en la modelación se intenta, más bien, aprovechar las ideas que surgen de los estudiantes para introducir conceptos importantes de la matemática. En general, se sugiere que la modelación como actividad de aprendizaje y de construcción de conocimientos sea resultado de esa actividad los estudiantes ponen de manifiesto sus diversas formas de pensar y de abordar los problemas y ello favorece el desarrollo de sus sistemas conceptuales.

MODELOS MATEMÁTICOS A TRAVÉS DE PROYECTOS

Se entiende que un Modelo Matemático es aquel que va a permitir la solución de un problema. Es por eso por lo que se considera a todo conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que traducen un fenómeno o situación realista. En la ciencia, un modelo matemático es fundamental para la constitución y expresión del conocimiento y para ello la matemática, con su arquitectura, permite la elaboración de los modelos matemáticos que posibilitan una mejor compresión, simulación y previsión del fenómeno estudiado. Este puede ser formulado como: expresiones numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas, programas computacionales, entre otros. Así, cuando se propone un modelo, éste representa aproximaciones realizadas para poder entender mejor el fenómeno en estudio. Sin embargo, no siempre tales aproximaciones están de acuerdo con la realidad.

En relación con la modelación se indica que la modelización prepara a los estudiantes para que tengan una participación en el ámbito social y cultural; así también, permite que adquieran una visión integrada de la matemática, reconozcan su utilidad para resolver problemas del medio, además de que comprendan y valoran la utilidad de los conceptos y procesos. Esto   cobra importancia porque las dificultades en el aprendizaje de la matemática es la comprensión y la ubicación de los conceptos cuando se presentan fuera de contexto. 

Los proyectos que son otra forma de tratamiento a un problema más conocida, consideramos importante en este enfoque ya que permite el fomentar la expresión de ideas, permite buscar la información y adquirir argumentos para opinar críticamente sobre lo que se expone y también contribuye al aprendizaje cooperativo y el trabajo grupal pues ofrece la posibilidad de desarrollar potencialidades al enfrentarse a un problema real, cercano a su entorno, y utilizar el conocimiento matemático disponible para solucionarlo.

Para Aravena, Camanño y Jimenez (2008) y Cardoso (2016) dentro de las implicaciones didácticas de la modelación por proyectos, se puede señalar que: 1) Ofrece una visión integradora de las matemáticas con las otras ciencias ya que permite comprender y valorar la utilidad de los conceptos y procesos en un mundo cada vez más matematizado. 2) Hace que se entiendan los fenómenos mediante la descripción de relaciones científicas (fórmulas, proyección, ajuste, interpolación). 3) Da significado a los conceptos y métodos matemáticos, apreciando la aplicabilidad de los conceptos, la utilidad de las representaciones gráficas y de la manipulación algebraica en la descripción matemática del fenómeno en estudio. 4) Realza el aspecto formativo de la matemática, estimulando el interés por el descubrimiento. 5) Fortalece el trabajo en equipo y la discusión y 6) Prepara a los alumnos para enfrentar y superar dificultades en el medio externo.

Referencias

Aravena M., Caamaño C., y Jimenez J. (2013). Modelos Matemáticos a través de proyectos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2008) 11(1): 49-92

Cardoso R. E. (2021) Los Objetivos de la sostenibilidad Conexiones 

Cardoso. R. (2013). Contenidos transversales y aprendizaje de la matemática: haciendo uso de la tecnología (software libre). Capítulo 5. Acta Latinoamericana. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Uso de los recursos tecnológicos en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. pp.1825 -1834

Cardoso R.E., Rubio N., Luna, M. (2017). Tareas que promueven competencias matemáticas en estudiantes universitarios no matemáticos. VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. Libro de Acatas. Madrid. Pp.2059-269.

Freudenthal, H. (1968).  How to teach mathematics so as to be useful. Educational Studies in Mathematics 1 (1), pp. 3-8.

Lehrer, R., y L. Schauble (2000). The development of model-based reasoning. Journal of Applied Developmental Psychology, 21(1), pp. 39-48.

Lesh, R. y B. Sriraman (2005). Mathematics education as design science. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 37(6), 2005, pp. 490-505.

Lesh, R. y H. M. Doerr (2003). Foundations of a models and modeling perspective on mathematics teaching, learning and problem solving, en R. Lesh y H. Doerr (eds.) Beyond constructivism: models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching, Mahawah, NJ, USA, 2003, Lawrence Erlbaum Associates

Lesh, R., y L. English (2005). Trends in the evolution of the Models and Modeling perspectives on mathematical learning and problem solving. ZDM, The International Journal on Mathematics Education, 37(6), pp. 487-489

Puig y Cerda (1998). Los problemas aritméticos de Enunciado verbal. Editorial Síntesis. Madrid. España.

Smithsonian Science Education Center (2021). ¡Comunidades sostenibles! ¿Cómo contribuiremos al progreso de nuestra comunidad? Guía de investigación comunitaria. Instituto Smithsonian. EE. UU.

Trigueros M. (2008). El uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas. Innovación Educativa, vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, pp. 75-87 Instituto Politécnico Nacional. Distrito Federal, México.

UNESCO. (2017). Educación para los objetivos de desarrollo sostenible: objetivos de aprendizaje. Francia: Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura.

UNESCO. (2018). Avances en la educación para el desarrollo sostenible y la educación para la ciudadanía mundial. Francia: Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura.

Vásquez Ortiz, C. (2020). Educación Estocástica en el aula escolar: una herramienta para formar ciudadanos de sostenibilidad. Matemáticas, Educación y Sociedad, 3(2), 1-20.

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